Nota tecnica: modello a media mobile tanto in tanto, riceviamo richieste di un problema tecnico su ARMA i modellare oltre la nostra normale supporto NumXL, che scava più nel formulazione matematica di ARMA. Siamo sempre felici di aiutare i nostri utenti con tutta la domanda che possono avere, così abbiamo deciso di condividere le nostre note tecniche interne con voi. Queste note sono state originariamente composte quando ci siamo seduti su un tempo di classe analisi di serie. Nel corso degli anni, weve mantenuto queste note con nuove intuizioni, osservazioni empiriche e intuizioni acquisite. Spesso torniamo a queste note per la risoluzione di questioni di sviluppo Andor per affrontare adeguatamente una questione di supporto del prodotto. In questo lavoro, ben andare oltre un semplice, ma fondamentale, il modello econometrico: media mobile. Questo modello serve da pietra angolare per tutto seria discussione sui modelli ARMAARIMA i. Background Un modello media mobile di ordine q (cioè MA (q)) è definito come segue: Il incondizionata (cioè lungo periodo) varianza è definito come segue: Per un ordine finito q, il processo è garantito stabile (cioè non fa converge a infinito). Per un ordine infinito (cioè), il processo è stabile solo se la varianza di lungo periodo è finito: In altre parole, la somma dei valori al quadrato dei coefficienti MA è finito. Dato un campione di dati di input. siamo in grado di calcolare i valori del processo di media mobile per il futuro (cioè out-of-sample) valori come segue: Derivando i valori dei coefficienti MA è un processo iterativo e semplice che ci salverà dal compiere divisione polinomiale complessa. A questo punto, ci si potrebbe chiedere perché dovremmo desiderare di convertire un processo ARMA finita fine di una rappresentazione MA infinita-ordine. Per cominciare, la previsione (media ed errore), utilizzando una rappresentazione MA è molto più facile che con il più alto ordine rappresentazione originale ARMA. 2. Integrazione Integrazione (cioè unità di root) si pone spesso in serie temporale (ad esempio random walk, ARIMA, etc.). In queste situazioni, modelliamo le serie storiche differenziata con un modello di classe ARMA: Ma come si prende la ARMA uscite torna alla scala non-differenziato Esempio 1: Si consideri un prima integrazione ordine del processo MA (q): 2.1 Media mobile modelli (modelli MA) modelli di serie tempo noti come modelli ARIMA possono includere termini autoregressivi eo movimento termini medi. In settimana 1, abbiamo imparato un termine autoregressivo in un modello di serie temporale per la variabile x t è un valore ritardato di x t. Per esempio, un ritardo 1 termine autoregressivo è x t-1 (moltiplicato per un coefficiente). Questa lezione definisce lo spostamento termini medi. Un termine media mobile in un modello di serie storica è un errore di passato (moltiplicata per un coefficiente). Sia (wt Overset N (0, sigma2w)), il che significa che la w t sono identicamente, indipendentemente distribuite, ciascuna con una distribuzione normale con media 0 e la stessa varianza. Il modello a media mobile 1 ° ordine, indicato con MA (1) è (xt mu peso theta1w) L'ordine di 2 ° modello a media mobile, indicato con MA (2) è (mu XT peso theta1w theta2w) La q ° ordine modello a media mobile , indicato con MA (q) è (MU XT WT theta1w theta2w punti thetaqw) Nota. Molti libri di testo e programmi software definiscono il modello con segni negativi prima dei termini. Ciò non modificare le proprietà teoriche generali del modello, anche se non capovolgere i segni algebrici di valori dei coefficienti stimati ei termini (unsquared) nelle formule per ACFS e varianze. È necessario controllare il software per verificare se vi siano segni negativi o positivi sono stati utilizzati al fine di scrivere correttamente il modello stimato. R utilizza segnali positivi nel suo modello di base, come facciamo qui. Proprietà teoriche di una serie storica con un MA (1) Modello nota che l'unico valore diverso da zero nella ACF teorico è di lag 1. Tutti gli altri autocorrelazioni sono 0. Quindi un ACF campione con un autocorrelazione significativa solo in ritardo 1 è un indicatore di un possibile MA (1) modello. Per gli studenti interessati, prove di queste proprietà sono in appendice a questo volantino. Esempio 1 Supponiamo che un MA (1) modello è x t 10 w t 0,7 w t-1. dove (WT overset N (0,1)). Così il coefficiente 1 0.7. L'ACF teorica è data da una trama di questa ACF segue. La trama appena mostrato è l'ACF teorico per un MA (1) con 1 0.7. In pratica, un campione abituato di solito forniscono un modello così chiara. Utilizzando R, abbiamo simulato n 100 valori di esempio utilizzando il modello x t 10 w t 0,7 w t-1 dove w t IID N (0,1). Per questa simulazione, un appezzamento serie storica dei dati di esempio segue. Non possiamo dire molto da questa trama. L'ACF campione per i dati simulati segue. Vediamo un picco in ritardo 1 seguito da valori generalmente non significativi per ritardi passato 1. Si noti che il campione ACF non corrisponde al modello teorico della MA sottostante (1), vale a dire che tutte le autocorrelazioni per i ritardi del passato 1 saranno 0 . un campione diverso avrebbe un po 'diverso ACF esempio riportato di seguito, ma probabilmente hanno le stesse caratteristiche generali. Theroretical proprietà di una serie storica con un modello MA (2) Per la (2) il modello MA, proprietà teoriche sono i seguenti: Si noti che gli unici valori diversi da zero nel ACF teorica sono per ritardi 1 e 2. Autocorrelazioni per ritardi superiori sono 0 . Così, un ACF campione con autocorrelazioni significativi a ritardi 1 e 2, ma autocorrelazioni non significative per ritardi più elevato indica una possibile mA (2) modello. iid N (0,1). I coefficienti sono 1 0,5 e 2 0.3. Poiché si tratta di un MA (2), l'ACF teorica avrà valori diversi da zero solo in caso di ritardi 1 e 2. I valori delle due autocorrelazioni diversi da zero sono un grafico della ACF teorica segue. è come quasi sempre accade, i dati di esempio solito si comportano abbastanza così perfettamente come teoria. Abbiamo simulato n 150 valori di esempio per il modello x t 10 w t 0,5 w t-1 .3 w t-2. dove w t iid N (0,1). La trama serie storica dei dati segue. Come con la trama serie per la MA (1) i dati di esempio, non puoi dire molto da esso. L'ACF campione per i dati simulati segue. Il modello è tipico per le situazioni in cui un modello MA (2) può essere utile. Ci sono due picchi statisticamente significative a ritardi 1 e 2 seguiti da valori non significativi per altri ritardi. Si noti che a causa di errore di campionamento, l'ACF campione non corrisponde al modello teorico esattamente. ACF per General MA (q) Models Una proprietà di modelli MA (q), in generale, è che ci sono autocorrelazioni diversi da zero per i primi ritardi Q e autocorrelazioni 0 per tutti i GAL gt q. Non unicità di collegamento tra i valori di 1 e (rho1) in MA (1) Modello. Nella (1) Modello MA, per qualsiasi valore di 1. il reciproco 1 1 dà lo stesso valore per esempio, utilizzare 0,5 per 1. e quindi utilizzare 1 (0,5) 2 per 1. Youll ottenere (rho1) 0,4 in entrambi i casi. Per soddisfare una limitazione teorica chiamato invertibilità. abbiamo limitare MA (1) modelli di avere valori con valore assoluto inferiore 1. Nell'esempio appena dato, 1 0.5 sarà un valore di parametro ammissibile, che non sarà 1 10.5 2. Invertibilità dei modelli MA Un modello MA si dice che sia invertibile se è algebricamente equivalente a un modello AR ordine infinito convergenti. Facendo convergere, si intende che i coefficienti AR diminuiscono a 0 mentre ci muoviamo indietro nel tempo. Invertibilità è una limitazione programmata nel software di serie storiche utilizzate per stimare i coefficienti dei modelli con i termini MA. La sua non è una cosa che controlliamo per l'analisi dei dati. Ulteriori informazioni sul restrizione invertibilit'a per MA (1) modelli è riportato in appendice. Avanzate teoria Note. Per un modello MA (q) con un determinato ACF, vi è un solo modello invertibile. La condizione necessaria per invertibilità è che i coefficienti hanno valori tali che l'equazione 1- 1 y-. - Q q y 0 ha soluzioni per y che non rientrano nel cerchio unitario. R Codice per gli esempi in Esempio 1, abbiamo tracciato l'ACF teorica del modello x t 10 w t. 7W t-1. e poi simulato n 150 valori di questo modello e tracciato le serie temporali del campione e l'ACF campione per i dati simulati. I comandi R utilizzati per tracciare la ACF teoriche sono state: acfma1ARMAacf (Mac (0,7), lag. max10) 10 ritardi di ACF per MA (1) con theta1 0,7 lags0: 10 crea una variabile denominata ritardi che va da 0 a 10. trama (ritardi, acfma1, xlimc (1,10), ylabr, typeh, principale ACF per MA (1) con theta1 0,7) abline (H0) aggiunge un asse orizzontale per la trama il primo comando determina l'ACF e lo memorizza in un oggetto chiamato acfma1 (la nostra scelta del nome). Il comando plot (il 3 ° comando) trame in ritardo rispetto ai valori ACF per ritardi da 1 a 10. Il parametro ylab Contrassegni l'asse Y e il parametro principale mette un titolo sul terreno. Per visualizzare i valori numerici della ACF è sufficiente utilizzare il comando acfma1. La simulazione e le trame sono state fatte con i seguenti comandi. xcarima. sim (N150, elenco (Mac (0,7))) Simula n 150 valori da MA (1) xxc10 aggiunge 10 per rendere medi default 10. simulazione a significare 0. plot (x, TypeB, mainSimulated MA (1) i dati) ACF (x, xlimc (1,10), mainACF per dati campione simulati) nell'Esempio 2, abbiamo tracciato l'ACF teorica del modello xt 10 wt .5 w t-1 .3 w t-2. e poi simulato n 150 valori di questo modello e tracciato le serie temporali del campione e l'ACF campione per i dati simulati. I comandi R utilizzati sono stati acfma2ARMAacf (Mac (0.5,0.3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 plot (ritardi, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typeh, principale ACF per MA (2) con theta1 0.5, theta20.3) abline (H0) xcarima. sim (N150, l'elenco (Mac (0,5, 0,3))) xxc10 plot (x, TypeB, principale simulato MA (2) Serie) ACF (x, xlimc (1,10), mainACF per simulato MA (2) dati) Appendice: prova di proprietà di MA (1) per gli studenti interessati, qui ci sono prove per le proprietà teoriche del (1) modello MA. Varianza: (testo (xt) testo (mu peso theta1 w) 0 di testo (in peso) di testo (theta1w) sigma2w theta21sigma2w (1theta21) sigma2w) Quando h 1, l'espressione precedente 1 w 2. Per ogni h 2, l'espressione precedente 0 . il motivo è che, per definizione di indipendenza della wt. E (w k w j) 0 per ogni k j. Inoltre, perché la w t hanno media 0, E (w j w j) E (w j 2) w 2. Per una serie temporale, applicare questo risultato per ottenere l'ACF cui sopra. Un modello MA invertibile è uno che può essere scritta come modello AR ordine infinito che converge in modo che i coefficienti AR convergono a 0, mentre ci muoviamo infinitamente indietro nel tempo. Bene dimostrare invertibilità per la (1) Modello MA. Abbiamo poi sostituto relazione (2) per w t-1 nell'equazione (1) (3) (ZT WT theta1 (z - theta1w) peso theta1z - theta2w) Al tempo t-2. l'equazione (2) diventa Abbiamo poi rapporto sostituto (4) per w t-2 nell'equazione (3) (ZT peso theta1 z - theta21w WT theta1z - theta21 (z - theta1w) WT theta1z - theta12z theta31w) Se dovessimo continuare a ( infinitamente), otterremmo il modello AR ordine infinito (ZT peso theta1 z - theta21z theta31z - theta41z punti) Nota però, che se 1 1, i coefficienti moltiplicando i ritardi di z aumenterà (infinitamente) in termini di dimensioni, come ci muoviamo nel tempo. Per evitare questo, abbiamo bisogno di 1 LT1. Questa è la condizione per un MA (1) Modello invertibile. Infinite Modello di ordine MA In settimana 3, e vedere che un AR (1) modello può essere convertito in un modello di ordine MA infinite: (xt - mu peso phi1w phi21w punti phik1 w punti riassumono phij1w) Questa somma dei termini di rumore bianco del passato è conosciuto come la rappresentazione causale di un AR (1). In altre parole, x t è un tipo speciale di MA con un numero infinito di termini che vanno indietro nel tempo. Questo è chiamato un ordine infinito MA o MA (). Un ordine MA finito è un AR ordine infinito ed ogni AR ordine finito è un ordine MA infinita. Ricordiamo a settimana 1, abbiamo notato che un requisito per un AR fisso (1) è che 1 LT1. Consente di calcolare il Var (x t) utilizzando la rappresentazione causale. Questo ultimo passo utilizza un fatto di base sulla serie geometrica che richiede (phi1lt1) altrimenti i diverge serie. Navigation8.4 modello a media mobile piuttosto che usare passato valori della variabile tempo in una regressione, un modello di media mobile utilizza errori di previsione del passato in un modello di regressione-like. y c et theta e theta e puntini theta e, dove et è rumore bianco. Ci riferiamo a questo come un modello MA (q). Naturalmente, noi non osserviamo i valori di et, quindi non è davvero una regressione nel senso comune. Si noti che ogni valore di yt può essere pensato come una media mobile ponderata degli ultimi pochi errori di previsione. Tuttavia, modello a media mobile non deve essere confuso con lo spostamento di smoothing media abbiamo discusso nel capitolo 6. Un modello a media mobile viene utilizzato per prevedere i valori futuri mentre si muove smoothing media viene utilizzato per stimare l'andamento del ciclo dei valori del passato. Figura 8.6: Due esempi di dati da modello a media mobile con parametri diversi. Sinistra: MA (1) con y t 20e t 0.8e t-1. A destra: MA (2) con y t e t - e t-1 0.8e t-2. In entrambi i casi, e t è normalmente distribuito rumore bianco a media nulla e varianza uno. Figura 8.6 mostra alcuni dati da un MA (1) modello e un (2) il modello MA. La modifica dei parametri theta1, punti, risultati thetaq in diversi modelli delle serie storiche. Come per i modelli autoregressivi, la varianza del termine di errore et cambierà solo la scala della serie, non gli schemi. È possibile scrivere qualsiasi modello stazionario AR (p) come modello MA (infty). Ad esempio, utilizzando la sostituzione ripetute, possiamo dimostrare questo per un AR (1) Modello: iniziare YT amp phi1y et amp phi1 (phi1y e) et amp phi12y phi1 E et amp phi13y phi12e phi1 E et amptext fine fornito -1 lt phi1 lt 1, il valore di phi1k otterrà più piccolo come k diventa più grande. Così alla fine si ottiene YT et phi1 e phi12 e phi13 e cdots, un (infty) processo MA. Il risultato inverso vale se imponiamo alcuni vincoli sui parametri MA. Poi il modello MA è chiamato invertibile. Vale a dire, che possiamo scrivere qualsiasi processo invertibile MA (q) come un processo AR (infty). modelli invertibili non sono semplicemente ci permettono di convertire da modelli MA a AR modelli. Hanno anche alcune proprietà matematiche che li rendono più facili da utilizzare nella pratica. I vincoli invertibilità sono simili ai vincoli di stazionarietà. Per un MA (1) Modello: -1lttheta1lt1. Per un MA (2) Modello: -1lttheta2lt1, theta2theta1 gt-1, theta1 - theta2 lt 1. condizioni più complesse valgono per qge3. Anche in questo caso, R si prenderà cura di questi vincoli nella stima dei dati models. Smoothing rimuove variazione casuale e tendenze spettacoli e componenti cicliche inerenti alla raccolta dei dati presi nel corso del tempo è una qualche forma di variazione casuale. Esistono metodi per ridurre di annullare l'effetto dovuto alla variazione casuale. Una tecnica spesso utilizzata nel settore è levigante. Questa tecnica, se applicato correttamente, rivela più chiaramente la tendenza di fondo, stagionale e componenti cicliche. Ci sono due gruppi distinti di metodi di lisciatura Averaging Metodi esponenziali metodi di lisciatura medie prendere è il modo più semplice per lisciare i dati Per prima cosa studiare alcuni metodi di calcolo della media, come ad esempio la media semplice di tutti i dati passati. Un gestore di un magazzino vuole sapere quanto un fornitore tipico offre in 1000 unità in dollari. Heshe prende un campione di 12 fornitori, in modo casuale, ottenendo i seguenti risultati: La media calcolata o media dei dati 10. Il gestore decide di utilizzare questo come la stima delle spese di un fornitore tipico. Si tratta di una stima buona o cattiva quadratico medio errore è un modo per giudicare come un buon modello è Dobbiamo calcolare l'errore quadratico medio. Il vero errore importo speso meno l'importo stimato. L'errore al quadrato è l'errore di cui sopra, al quadrato. Il SSE è la somma degli errori quadratici. Il MSE è la media degli errori quadratici. MSE risulta per esempio I risultati sono: Error e errori al quadrato La stima 10 si pone la domanda: possiamo usare il mezzo per prevedere reddito se abbiamo il sospetto un trend Uno sguardo al grafico qui sotto mostra chiaramente che non dovremmo farlo. Media pesa tutte le osservazioni passate altrettanto In sintesi, si precisa che la media semplice o media di tutte le osservazioni del passato è solo una stima utile per la previsione quando non ci sono le tendenze. Se ci sono tendenze, utilizzare diverse stime che tengono il trend in considerazione. La media pesa tutte le osservazioni del passato allo stesso modo. Ad esempio, la media dei valori 3, 4, 5 è 4. Sappiamo, naturalmente, che in media è calcolata sommando tutti i valori e dividendo la somma per il numero di valori. Un altro modo di calcolare la media è aggiungendo ogni valore diviso per il numero di valori, o 33 43 53 1 1,3333 1,6667 4. Il moltiplicatore 13 è chiamato il peso. In generale: bar sum frac sinistra (frac destra) x1 sinistra (frac destra) x2,. ,, A sinistra (frac destra) xn. Il (a sinistra (frac destra)) sono i pesi e, naturalmente, si sommano a 1.
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